Aufgabe 1: Kurzfragen

a)

Wie ist die 1. Brillouin-Zone definiert? Geben Sie zwei Beispiele für die Bedeutung des Brillouin-Zonenrands oder Phänomene, die dort auftreten, an.

b)

Beschreiben Sie kurz, was man unter dem Meißner-Ochsenfeld-Effekt versteht. Tragen Sie für Typ-I und II-Supraleiter außerdem die Suszeptibilität gegen das äußere $B$-Feld auf.

d)

Was bezeichnet eine Van-Hove-Singularität? Wie hängt diese mit einer Dispersionsrelation zusammen und wie kann man sie messen?

f)

Erklären Sie kurz, was man unter einem Exziton, einem Magnon und einem Plasmon versteht.

Aufgabe 2: Aus Laue mach Bragg

a)

Zeigen Sie, dass aus der Lauebedingung im Fall elastischer Streuung die Braggbedingung folgt. Fertigen Sie hierzu eine Skizze an und tragen Sie die nötigen Größen ein.

b)

Geben Sie in Abhängigkeit von der Wellenlänge $\lambda$ der Röntgenstrahlung, der Gitterkonstanten $a$ und der Millerindices $h, k, l$ die fünf niedrigsten Werte für $\sin\theta$ an, bei denen Röntgenreflexe erster Ordnung am einfachen kubischen Gitter auftreten. Der Braggwinkel wird als $\theta$ bezeichnet.

c)

Berechnen Sie den Strukturfaktor eines bcc-Gitters und zeigen Sie anhand der Auswahlregeln, welche der in b) angegebenen Interferenzlinien in einem bcc-Gitter erlaubt sind.

Aufgabe 4: Fermigase im Weltall

Betrachten Sie einen Atomkern als ein System unabhängiger Fermionen mit Spin $s = \frac{1}{2}$.

a)

Das Volumen eines Atomkerns mit der Nukleonenzahl $N$ lässt sich in guter Näherung mittels der Formel $V = N \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r_0^3$ berechnen, wobei $r_0 \approx \SI{1.2}{\femto\meter}$ den Radius eines Nukleons darstellt. Zeigen Sie, dass nach diesem Modell eine Fermi-Energie von etwa $\SI{53}{\mega\electronvolt}$ bei gegebenem Betrach des Fermi-Vektors $k_F = (3\pi^2 n)^{1/3}$ mit der Teilchendichte $n$ zu erwarten ist. Die Protonen und Neutronen im Kern sollen dabei die gleiche Masse $m = \SI{1.675E-27}{\kilo\gram}$ besitzen.

Betrachten Sie als Nächstes einen kugelförmigen Zwergstern mit dem Radius $R = \SI{5}{\kilo\meter}$, der als großer Atomkern bestehend aus Neutronen der Massen $m$ modelliert werden kann.

b)

Berechnen Sie den Druck $p = - \left.\frac{\partial U}{\partial V}\right\rvert_{N}$ und den Kompressibilitätsmodul $\kappa = -V \left.\frac{\partial p}{\partial V}\right\rvert_{T}$ des Fermigases aus Neutronen für $T = \SI{0}{\kelvin}$. Nutzen Sie dafür die Zustandsdichte in drei Dimensionen $D(E) = \frac{V}{4\pi^2} \left(\frac{2m}{\hbar^2}\right)^{3/2} E^{1/2}$.

c)

Berechnen Sie unter Verwendung der Fermi-Energie aus Aufgabenteil a) und der Zustandsdichte in drei Dimensionen die Gesamtenergie $U$ des Neutronensterns für $T = \SI{0}{\kelvin}$.

d)

Für Neutronen hoher Energie und bei endlichen Temperaturen lässt sich die Fermi-Dirac-Statistik vereinfachen zu \(f(E) \approx \frac{N}{V} \left(2\pi\hbar^2\right){m k_B T}^{3/2} \cdot e^{-E / k_B T} \;.\) Zeigen Sie, dass in diesem Grenzfall die innere Energie $U$ des Neutronensterns der eines idealen Gases entspricht.